TEMA 1: VECTORES EN EL ESPACIO

 

    El primer tema que se va a tratar es Vectores en el  espacio, tratando puntos necesarios para llevar a cabo este contenido, como son los Conceptos de: Punto, Recta, Plano y Espacio. Representación de puntos en el plano R².

      Recuerdan, ¿qué es un punto? Vamos a ver ejemplos de punto, 

    

 

  Los puntos se pueden representar así, se pueden usar incluso para hacer dibujos de diferentes formas. Ahora bien,  recordemos que es una recta, ahora veamos algunos ejemplos de rectas,

   Además es necesario, hablar del  plano, ¿a qué se le llama plano? ¿Es lo mismo, plano y espacio? A continuación algunos ejemplos de plano y espacio

·        CONCEPTOS:

ü  PUNTO: El punto es uno de los entes fundamentales de la geometría, junto con la recta y el plano, pues son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es la unidad más simple, irreductiblemente mínima, de la comunicación visual, es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

ü  RECTA: La línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección. Es  uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos, ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares.

ü  PLANO: Un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta. Cuando se habla de un plano de polina, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos.

ü  ESPACIO: El espacio es el conjunto de todos los puntos. Se considera que el espacio es infinito en extensión, sin comienzo ni fin. El punto, la recta y el plano se consideran incluidos en el espacio.

Al plano R², se le llama también, sistema de ejes cartesianos o sistema de coordenadas cartesianas. Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una relación matemática ( puntos y funciones matemáticas) o del movimiento o posición en física, caracterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre sí que concurren en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coordenadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de manera formal.

          El sistema en sí es un sistema bidimensional, que se denomina plano cartesiano. El punto de intersección de las rectas, por definición, se considera como el punto cero de las rectas y se conoce como origen de las coordenadas. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números reales de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números reales de las ye ("y").    

         Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:

·         Primer cuadrante "I": Región superior derecha

·         Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda

·         Tercer cuadrante “III”: Región inferior izquierda

·         Cuarto Cuadrante “IV”: Región inferior derecha

          El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano.

·        EJEMPLOS:

a.       Ubica los siguientes puntos en el plano R²:

P₁ (-1,0)      P₂ (3,5)     P₃ (2,-4)     P₄ (-2,-3)   

 

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·         VECTORES:

En matemática y física, un vector, es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido. Los vectores permiten representar magnitudes físicas vectoriales.

En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio vectorial.

·        Características de un vector

Coordenadas cartesianas.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector está en el plano xy, se representa:

  V=  V=(Vx,Vy), siendo sus coordenadas: Vx, Vy

·        Clasificación de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

       ·         Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
·         Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
·         Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

También existen:

·         Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

·         Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares porque forman un ángulo entre ellas.

·         Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios. ​ En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.

·         Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.

·         Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.

·         Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Para culminar, les dejo una serie de ejercicios para que practiquen y así afianzar el tema dado.

{\displaystyle V_{x},\;V_{y}}

·        EJERCICIOS:

a.       Ubicar los siguientes puntos en el plano R²:

P₁ (3,1)     P₂ (-3,2)   P₃ (4,-1)   P₄ (-2,-3)   P₅ (0,2) 

 P₆ (-3,0)   P₇ (0,-4)   P₈ (1,0)    P₉ (5,3)     P₁₀ (0,0)

b.      Dibuja los tipos de vectores.

c.       Resolver el siguiente crucigrama.

HORIZONTAL                                                                VERTICAL

1.- Figura geométrica sin dimensión                   3.-  Objeto ideal que solo posee dos dimensiones

2.- Línea que se extiende en una misma dirección          4.- Conjunto de todos los puntos                     

5.- Representación de datos                                 6.-  recta respecto a la cual una figura es simétrica    

7.-  Principio                                                             8.- Cada una de las 4 partes del eje de coordenadas     

9.- Tipo de coordenadas ortogonales                10.- Sucesión continua de puntos en el espacio                                                      

Recuerden que cuando nos proponemos hacer algo, para lograrlo se requiere constancia y determinación 

Sigue adelante , tu puedes!

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